Doğruhaber - Mesut Tunce

Hiç bu kadar güzel bir bal peteği gördünüz mü?

Bu petek sizce de biraz Rehber TV logosunu anımsatmıyor mu? Neyse. Bu eski bir haber. Biz bugünkü konumuza odaklanalım.

Arılar öyle işler yaparlar ki, dünyanın yetişmiş en iyi matematikçileri bile, bu deha karşısında hürmetle eğilirler. Ama arıların yaptığı işin karmaşıklığını ve kusursuzluğunu anlayabilmek için, bu işin matematik boyutunu az biraz kavrayabilmemiz gerekmektedir. Şimdi sizlere olabilecek en basit anlatımıyla, bal peteğindeki muhteşem mimariyi açıklamaya çalışacağız.

Arılar doğanın gerçekten usta mimarlarıdırlar. Bu nedenle bal peteğinin mimarisi ve ardındaki geometri tarih boyunca insanların ilgisini çekmiştir.

Yan yana altıgenlerden oluşan bu yapı, son derece hassas olup ortalama duvar kalınlıkları 0,1 mm’dir. Bu ortalama değerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardır.

Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek için, matematiksel bir bakış açısına sahip olmak gerekir.

Bilim adamları ve matematikçiler yaptıkları araştırmalar sonucu en verimli depolama şeklinin altıgene uygun olduğunu ispatlamışlardır. Maksimum kullanımı esas alan bu konumlanmaya çıta kenarlarından başlayan arılar ortada kusursuz altıgenlerle petekleri tamamlarlar. Bu müthiş matematik düzeni diğer geometrik şekiller ile mümkün olmamaktadır. Daire, beşgen ve sekizgen gibi şekillerde muhakkak boşluk kalacaktır. Kare ve üçgende ise, aynı hacmi doldurmak için gereken duvar çevresi daha fazla olacağından en az malzeme ile bir alanı en iyi şekilde bölmek için altıgen en ideal olan şekil tipidir.

Michigan Üniversitesi’nden Thomas Hales 1999’da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit küçük alanlara ayırmak istediğimizde, en ideal şeklin düzgün altıgen olduğunu ispatladı. Her ne kadar altıgen şeklin, ideal bir şekil olduğu uzun zamandır belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı.

Daire, belli bir sabit alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir.

Meselâ alanı 10 cm² olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduğu görülür.

Ancak bal peteğinin inşasında durum tam olarak böyle değildir.

Burada bal peteğinin geniş çerçevesi, eşit ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme işleminde en az çevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır.

Çerçeveyi, eşit alanlara sahip küçük daireler şeklindeki peteklere bölmek istersek, yukarıda ifade edildiği gibi en kısa kenar özelliği sağlanacak, fakat dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar için daha fazla mum harcanmış olacaktır.

Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve en az malzemeyle çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiğimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir.

Kenar sayısı n olan aynı alana sahip çokgenler düşünelim. Bunların içerisinde en kısa çevre uzunluğuna sahip olanı düzgün n-gendir.

Düzgün ile kastedilen, bütün kenarları ve iç açıları eşit olandır. Bu tip bir çokgen, her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri çemberin çevresi üzerindedir.

Böyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından dolayı çevre uzunluğu en az olmaktadır.

Meselâ eşit alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende, dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir.

Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa, en kısa çevre uzunluğu düzgün beşgen ve altıgende elde edilebilir.

Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alanı bölerken hangi düzgün çokgeni kullanmamız gerektiğidir.

Yani bir alanı boşluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen veya altıgen kullanmalıyız. Kenar sayısı 6’dan fazla olan düzgün bir çokgen ile boşluksuz bölme mümkün değildir.

Benzer şekilde düzgün beşgenler de uygun bir çözüm değildir. Şekil 3’te üç düzgün beşgenin yan yana getirilmesi ile 36O açılı boş bir alan ortaya çıkmıştır. Halbuki altıgenler boşluksuz yan yana getirilebilirler (Şekil 4).

Ayrıca eşit alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, en az çizgi uzunluğu altıgende olmaktadır. Dolayısı ile en az balmumu sarfiyatı bu şekilde bölme kullanılarak elde edilebilir.

Matematikçiler ayrıca, kenarları doğru olmayan, eğri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar. Kenar eğri olunca, bir çokgende dışbükey şekil elde edilirken komşu çokgende ister istemez içbükey şekil elde edilmektedir. Dışbükey eğri ile elde edilen avantajı (daire parçasına daha fazla benzemesinden dolayı) içbükey eğriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir.

Burada bir konuya da değinmekte fayda görüyoruz. Bal petekleri binlerce yıl dayanabilirler. Dolayısıyla günümüzde çok eski zamanlardan kalma bir çok pal peteği fosili bulunmaktadır. Şâyet arıların petek inşa teknikleri ilk yaratıldıkları dönemden bu yana evrimleşerek gelseydi, fosil kayıtlarında, altıgen dışında başka geometrik şekillere de rastlanması gerekirdi. Halbuki başka bir şekildeki bal peteğinin kullanıldığına dâir ipucuna rastlanmamıştır. Bizzat Charles Darwin bal peteğini, işçilik ve balmumunu mükemmel ekonomize eden bir mühendislik harikası olarak tanımlamıştır.